第三题45分】
设:?→?是严格递增函数，满足(1)=1且对任意正整数n，有((n))=(n)+n。求(n)的表达式。】
江辰扫了一眼。
“函数方程题，经典题型。”
他几乎没思考，直接写：
“解：先求前几项。由(1)=1，代入n=1得((1))=(1)+1，即(1)=1+1=2，矛盾？因为(1)=1，所以((1))=(1)=1，右边(1)+1=2，1=2矛盾？”
江辰愣住了。
“题目出错了？”
他重新读题：“:?→?是严格递增函数，满足(1)=1且对任意正整数n，有((n))=(n)+n。”
代入n=1：((1))=(1)+1 → (1)=1+1=2，但(1)=1，矛盾。
“这……”
江辰皱眉。
三秒后，他明白了。
“哦，(1)=1，但((1))=(1)吗？不，(1)=1，所以((1))=(1)=1，右边应该是1+1=2，確实矛盾。”
“除非……题目中的?是正整数，但可能包含0？或者(1)=1是初始条件，但函数方程对n2成立？”
他继续往下想。
“先假设题目没错，那么矛盾说明我的推理有问题。((n))=(n)+n，当n=1时，((1))=(1)+1=2，所以((1))=2。”
“而(1)=1，所以(1)=1，那么((1))=(1)=1，但需要等於2，所以必须(1)≠1？可题目明確说了(1)=1。”
江辰感觉脑子有点乱。
“这题……有问题？”
他决定先跳过，看第四题。
第四题45分】
设p是奇素数，a?,a?,…,ap是整数。证明：存在整数k1kp使得∑{i=1}^p (a{i+k} ai)2能被p2整除，这里下標模p理解即a{p+1}=a1等。】
江辰看完，眼睛一亮。
“数论组合题，有点意思。”
“∑(a{i+k}ai)2 = ∑a{i+k}2 2∑a{i+k}ai + ∑ai2 = 2∑ai2 2∑a{i+k}ai，因为∑a{i+k}2=∑ai2。”
“所以要证存在k使2∑ai2 2∑a{i+k}ai ≡ 0 mod p2，即∑ai2 ≡ ∑a{i+k}ai mod p2/2？不对，模p2。”
“即证存在k使∑a{i+k}ai ≡ ∑ai2 mod p2。”
“记sk = ∑ai a{i+k}，要证存在k使sk ≡ s0 mod p2，其中s0=∑ai2。”
“这等价於证存在k使sk s0 ≡ 0 mod p2。”
“考虑所有k的sk之和？或者用多项式方法……”
江辰脑子飞速转动。
十秒后，他有了思路。
“用傅立叶变换离散傅立叶变换。”
“设a(x)=∑ai x^i多项式，则sk是a(x)a(x^{1})中x^k项的係数？不对，循环卷积。”
“实际上，sk = ∑ai a{i+k}是序列{ai}的自相关函数。”
“要证存在k使sk ≡ s0 mod p2。如果所有sk ≡ s0 mod p2都不成立，那么所有sk s0 ≡ 0 mod p2都不成立……”
“用反证法：假设对所有k都有sk ? s0 mod p2，则sk s0 ≡ rk mod p2，其中rk是1到p21之间的数。”
“考虑∑{k=1}^p (sk s0) = ∑k ∑i ai(a{i+k}ai) = ……”
江辰在草稿纸上快速计算。
两分钟后，他找到了关键等式。
“有了！∑{k=1}^p sk = p∑ai2，所以∑{k=1}^p (sk s0) = p∑ai2 p∑ai2 = 0。”
“但如果每个sk s0都不被p2整除，它们的和模p2不可能为0，矛盾。”
“所以存在k使p2整除sk s0。”
“严谨化：设bi = ai mod p，考虑模p下的序列{bi}，用类似论证可得存在k使∑bi b{i+k} ≡ ∑bi2 mod p，然后提升到模p2……”
四分钟，第四题搞定。
江辰看了眼时间：9:50。
第四题做完，还剩第三题。
他回过头看第三题。
“函数方程((n))=(n)+n，严格递增，(1)=1。”
“代入n=1得(1)=2，矛盾。所以要么题目错了，要么我的理解错了。”
江辰想了想，突然灵光一闪。
“等等，是?→?，?通常指正整数，但有时也包含0。如果包含0，那么(0)可能存在。”
“设(0)=c，则((0))=(c)=(0)+0=c，所以(c)=c。”
“由严格递增，(0)=c，(1)=1，如果c＜1，则(0)＜(1)，但0＜1，可以。c必须是整数，所以c=0。”
“那么(0)=0，(1)=1，代入n=1：((1))=(1)+1=2，所以(1)=2？但(1)=1，矛盾。”
“还是矛盾。”
江辰皱眉。
“除非……(1)不是1？但题目明確说了(1)=1。”
他决定换个思路。
“假设(1)=1，那么((1))=(1)=1，但方程要求((1))=(1)+1=2，矛盾。”
“所以题目一定有印刷错误？或者?是自然数集包括0，且(0)=1？”
“设(0)=1，那么(1)是多少？由严格递增，(1)＞(0)=1。”
“代入n=0：((0))=(1)=(0)+0=1，所以(1)=1，但(1)＞1，矛盾。”
“也不行。”
江辰感觉这题像个死胡同。
他看了眼时间，9:52。
“算了，先按標准方法解，假设(1)=1成立，忽略n=1的矛盾。”
“令g(n)=(n)n，则方程变为((n))=(n)+n → (n+g(n))=n+g(n)+g(n)=n+2g(n)。”
“但(n+g(n))又等於((n))=(n)+n=n+2g(n)，自洽。”
“由严格递增，g(n)非负且递增？不一定。”
“尝试求前几项：设(1)=1，则((1))=(1)=1，但方程要求等於2，所以矛盾。跳过n=1。”
“从n=2开始：((2))=(2)+2，设(2)=a，则(a)=a+2。”
“由严格递增，(1)=1＜(2)=a，所以a2。”
“(3)=b，则(b)=b+3，且b＞a2。”
“继续推导……”
江辰在草稿纸上列出一串等式。
两分钟后，他猜出了答案。
“(n) = φn + ψ，其中φ是黄金比例(1+√5)/2？不对，必须是整数函数。”
“实际上，经典解是(n)=?φn?或类似形式，但需要验证。”
他快速验证了一下。
“设φ=(1+√5)/2≈1.618，则φ2=φ+1。”
“如果(n)=?φn?，则((n))=?φ?φn??≈φ2n=φn+n=(n)+n，近似成立。”
“但严格成立需要数论性质，这是经典的beatty序列。”
江辰决定直接写答案：